复合梁正应力分布规律实验原理

一、实验目的
1. 用电测法测定叠梁，复合梁在弯曲受力状态下，沿其横截面高度的正应变（正应力）分布规律。
2. 推导叠梁，复合梁的正应力计算公式。
二、实验仪器和设备
1. 纯弯曲梁实验装置（纯弯曲梁复合梁）。
2. 静态数字电阻应变仪。
三、实验原理及步骤
1. 实验原理
复合梁的材料为铝梁和钢梁，上层是铝梁，其弹性模量分别为E=70GN/m²和E=210GN/m²。复合梁上总过贴上了12各应变片，每个梁各6个。
1. 几何、物理和静力学关系
以材料尺寸相同的两层矩形截面复合梁在纯弯 曲情况下为计算模型，在其纵向对称面内，承受弯矩 M的作用。上梁的弹性模量为E₁，横截面面积为A₁，下梁的弹性模量为E₂，横截面面积为A₂，且A₁=A₂，单梁的梁宽和梁高分别为b和h，在其纵向对称面内，承受弯矩M的作用。两种不同的材料由胶粘合制成。下面建立横截面上的弯曲正应力公式，平面假设与单向假设均成立。
设中性层的曲率半径为，并沿截面纵向对称轴与中性轴分别建立坐标轴y与z，中性层离交界面的距离为e。
（1）变形几何关系。根据平面假设可知，横截面上y处的纵向正应变为:
                                                              （6-1）
（2）物理关系。依胡克定律，而由式（1）带入，可以得出不同材料区的弯曲正应力分别为：
                            ，                     （6-2）
（3）静力学平衡关系。根据受力分析，由静力学平衡关系，考虑横截面上内力的平衡，，可以得出：
                                           （6-3） 
由组成的内力系，在横截面上形成一个内力偶矩M，即为横截面上的弯矩M，即：
                                       （6-4）
2. 确定中性层位置
将式（2）代入式（3）中，得

令


则
                                                     （6-5）
则


并且，令

将和带入式（5）得：
                                                        （6-6）
3. 推导弯曲正应力计算公式
将式（2）代入式（4），得：

令
，
其中、分别为截面、对中性轴的惯性矩。由于各梁曲率相同，经变化得：
                                                        （6-7）
再将式（7）代入式（2），得：
                   ，                   （6-8）
式中、分别为、对共同中性轴Z的惯性矩。
由单向应力状态的虎克定律公式，可求出应力实验值。应力实验值与应力理论值进行比较，以验证复合梁的正应力计算公式。
2. 实验步骤
1. 首先确定单梁的物理参数，得到h=20mm，b=20mm，c=150mm。
2. 启动实验装置，将各应变片分别接到各个AB通道之间，同时把公共补偿片接到上，并且把C通道与短接片短接。
3. 进行实验：
a.取初载荷0.5kN，每次逐级加1.0kN，直至4.5kN，总共分4次加载。
b.接完线路以及加初载荷之前都要重复置零。
c.每次加载完毕都要记录下数据。
  
四、实验数据
表6-1 Ⅰ梁应变数据表

表6-2 Ⅱ梁应变数据表
五、数据处理
1.  根据实验数据计算各点的平均应变，求出各点的实验应力值，并计算出各点的理论应力值；计算实验应力值与理论应力值的相对误差。
答：根据上面实验数据，结合材料力学相关知识计算如下：
（1）由实验数据可知，各应变片处的平均应变值为：
Ⅰ梁上处的平均应变为：

Ⅰ梁上处的平均应变为：

Ⅰ梁上处的平均应变为：

Ⅰ梁上处的平均应变为：

Ⅰ梁上处的平均应变为：

Ⅰ梁上处的平均应变为：

Ⅱ梁上处的平均应变为：

Ⅱ梁上处的平均应变为：

Ⅱ梁上处的平均应变为：

Ⅱ梁上处的平均应变为：

Ⅱ梁上处的平均应变为：

Ⅱ梁上处的平均应变为：

（2）各应变片处的实验应力值为：
Ⅰ梁上处的应力值为：

Ⅰ梁上处的应力值为：

Ⅰ梁上处的应力值为：

Ⅰ梁上处的应力值为：

Ⅰ梁上处的应力值为：

Ⅰ梁上处的应力值为：

Ⅱ梁上处的应力值为：

Ⅱ梁上处的应力值为：

Ⅱ梁上处的应力值为：

Ⅱ梁上处的应力值为：

Ⅱ梁上处的应力值为：

Ⅱ梁上处的应力值为：

（3）理论计算试件上个应变片处的理论应力值
加载的力的大小为F=1000N。复合梁的单梁截面厚度b=20mm，高度h=20mm，截面作用点到梁支点的距离为c=150mm。设n=E₂/E₁=210/70=3，中性轴位置的偏移量为：

因此，可得到复合梁Ⅰ和复合梁Ⅱ正应力计算公式分别为


其中

根据材料力学知识分析如下：
Ⅰ梁上处计算应力值为：

Ⅰ梁上处计算应力值为：

Ⅰ梁上处计算应力值为：

Ⅰ梁上处计算应力值为：

Ⅰ梁上处计算应力值为：

Ⅰ梁上处计算应力值为：

Ⅱ梁上处计算应力值为：

Ⅱ梁上处计算应力值为：

Ⅱ梁上处计算应力值为：

Ⅱ梁上处计算应力值为：

Ⅱ梁上处计算应力值为：

Ⅱ梁上处计算应力值为：

（4）计算实验应力值与理论应力值的相对误差
Ⅰ梁上处应力值的相对误差为：

Ⅰ梁上处应力值的相对误差为：

Ⅰ梁上处应力值的相对误差为：

Ⅰ梁上处应力值的相对误差为：

Ⅰ梁上处应力值的相对误差为：

Ⅰ梁上处应力值的相对误差为：

Ⅱ梁上处应力值的相对误差为：

Ⅱ梁上处应力值的相对误差为：

Ⅱ梁上处应力值的相对误差为：

Ⅱ梁上处应力值的相对误差为：

Ⅱ梁上处应力值的相对误差为：

Ⅱ梁上处应力值的相对误差为：

2.  上述的各点应力的实验值与应力的理论值，将两者进行比较。可以得出：实验值与理论值的结果十分接近，说明复合梁的正应力计算公式成立。
六、实验结果
根据前面计算可以看出，实验计算的结果和理论计算的结果基本吻合。现列表如下：
表6-2 结果对比表

 

从表中可以看出，理论计算和实验结果基本吻合，相对误差不大。实验从某种方面上证实了理论知识。数据可用。
七、思考题
1． 复合梁中性层为何偏移？
答：因为两种材料的抗弯能力以及抗拉能力不同，导致在同等应力条件下，两个截面对称位置发生的应变不同。抗弯能力以及抗拉能力强的材料发生的变形小于另一种材料，因此中性层就向下偏移了。
2.  如何理解复合梁实验中出现两个中性层？
复合梁虽然中间是由物理或化学方法进行了连接，但是其实际上不是一个材料性质连续的整体。因此在两种材料的交界面上会产生应力的突变，在整个复合梁的横截面上，应力不是连续的，因此可能出现两个中性层。